Řád prvku

Řád prvku $a\,\!$ v grupě $G\,\!$ je takové nejmenší přirozené číslo $n\,\!$, že $a^{n}=1\,\!$ (přičemž $1\,\!$ je neutrální prvek grupy $G\,\!$), značíme jej $\operatorname {ord} \,a\,\!$ nebo $|a|\,\!$.

Definice

Buď dána grupa $G\,\!$, a prvek $a\in G\,\!$. Je-li cyklická grupa generovaná prvkem $a\,\!$ konečná, pak řád prvku $a\,\!$ v grupě $G\,\!$ klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak $0\,\!$ (u některých autorů $\infty \,\!$).

Tvrzení

• Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
• Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
• Buď $f:G\rightarrow H\,\!$ homomorfismus grup a $a\in G\,\!$ prvek konečného řádu, pak $\operatorname {ord} \,f(a)|\operatorname {ord} \,a\,\!$. Je-li navíc $f\,\!$ injektivní, pak $\operatorname {ord} \,f(a)=\operatorname {ord} \,a\,\!$.
• Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem $1\,\!$ (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura

• BERAN, Ladislav. Grupy a svazy. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1974. (Matematický seminář SNTL, 5). Kapitola 2.4 Podgrupa generovaná komplexem, s. 67–68. 
• ROSICKÝ, Jiří. Algebra. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. 

Odkazy

Související články

• Grupa
• Cyklická grupa
• Řád grupy

Portály: Matematika