Injekce (matematika)

Injekce (injektivní zobrazení, prosté zobrazení) je typ zobrazení mezi množinami, které různým vzorům přiřazuje různé obrazy. Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů a jeden vzor více obrazů. K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení. Na rozdíl od Surjekce, prosté zobrazení nemusí být definováno pro všechny obrazy a vzory, tedy mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor. V anglické literatuře je prosté zobrazení často označováno one to one (jedna k jedné).

Definice editovat

Zobrazení $f\colon X\rightarrow Y$ nazýváme prosté (injektivní), jestliže platí implikace:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(x_{1}\neq x_{2})\Rightarrow (f(x_{1})\neq f(x_{2}))

,

někdy se uvádí ekvivalentní definice s implikací v kontrapozici:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(f(x_{1})=f(x_{2}))\Rightarrow (x_{1}=x_{2})

.

Příklady editovat

Lineární zobrazení je prosté, právě když determinant odpovídající transformační matice je nenulový.
Reálná funkce $f(x)=2x+1$ je prostá, protože pokud $f(x)=f(y)$ , platí i $2x+1=2y+1$ , tedy $x=y$ .
Reálná funkce $g(x)=x^{2}$ není prostá, neboť např. $g(-1)=g(1)$ . Pokud ale funkci $g$ omezíme na interval $\langle 0,\infty )$ , je $g$ prostá.
Reálné funkce $e^{x}$ a $\ln x$ jsou prosté.
Periodické funkce obecně nejsou prosté (prosté jsou, pokud je omezíme na interval délky jedné periody nebo půlperiody).
Cyklometrické funkce jsou definovány jako inverzní ke goniometrickým na intervalu jedné periody, tudíž prosté jsou.
Každá ryze monotónní funkce (tj. rostoucí nebo klesající) je prostá.
Sudá funkce nemůže být prostá.
V teorii pravděpodobnosti distribuční funkce je prostá, ale hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny prostá není.