Pravděpodobnostní funkce

Pravděpodobnostní funkce (anglicky probability mass function, pmf) je funkce v teorii pravděpodobnosti a statistice, která udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina se přesně rovná nějaké hodnotě. Pravděpodobnostní funkce je často základní prostředek pro definování diskrétního pravděpodobnostního rozdělení, a taková funkce existuje jak pro skalární tak pro vícerozměrnou náhodnou veličinu, jejíž definiční obor je diskrétní.

Ukázka grafu pravděpodobnostní funkce. Všechny hodnoty této funkce musí být nezáporné a jejich součet je 1.

Pravděpodobnostní funkce se liší od hustoty pravděpodobnosti (anglicky probability density function, pdf) tím, že se týká diskrétní místo spojité náhodné veličiny jako je tomu u hustoty pravděpodobnosti; hodnoty hustoty pravděpodobnosti nejsou pravděpodobnosti jako takové: hustotu pravděpodobnosti je nutné zintegrovat, abychom získali pravděpodobnost.

Formální definice

Pravděpodobnostní funkce poctivé kostky. U všech čísel na kostce je stejná pravděpodobnost, že se při hodu objeví na horní stěně.

Předpokládejme, že X: Ω → A ($\subseteq \mathbb {R}$) je diskrétní náhodná veličina definovaná na prostoru elementárních jevů Ω. Pak pravděpodobnostní funkce f_X: A → ⟨0, 1⟩ pro X je definovaná jako

$f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}).$

Abychom se vyhnuli chybám, můžeme uvažovat o pravděpodobnosti jako o hmotě, protože fyzická hmota je zachována stejně jako celková pravděpodobnost pro všechny hypotetické výsledky x:

$\sum _{x\in A}f_{X}(x)=1$

Když existuje přirozené pořadí mezi hypotézami x, může být pohodlné jim přiřadit numerické hodnoty (nebo n-ticím v případě diskrétní vícerozměrné náhodné veličiny) a uvažovat také hodnoty, které nejsou v obrazu množiny X. To znamená, že funkce f_X může být definovaná pro všechna reálná čísla a f_X(x) = 0 pro všechna x $\notin$ X(Ω), jak je znázorněno na obrázku.

Protože obraz X je spočetný, pravděpodobnostní funkce f_X(x) je nulová pro všechny hodnoty s výjimkou spočetného počtu hodnot x. Nespojitost pravděpodobnostní funkce plyne z faktu, že distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je také nespojitá. Pokud je derivovatelná, její derivace je nula, stejně jako pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech takových bodech.

Příklady

Předpokládejme, že Ω je prostor elementárních jevů všech výsledků jediného hodu mincí a X je náhodná veličina definovaná na Ω přiřazením 0 „orlu“ a 1 „hlavě“; jedná se o alternativní rozdělení, které je speciálním případem binomického rozdělení pro počet hodů n=1. Pokud je mince poctivá, pravděpodobnostní funkce je

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}$

Příkladem vícerozměrného diskrétního rozdělení a jeho pravděpodobnostní funkce je multinomické rozdělení.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability mass function na anglické Wikipedii.

Související články

• Náhodná veličina
• Rozdělení pravděpodobnosti

Literatura

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)

Autoritní data	GND: 4514608-1

Portály: Matematika