Osmnáctiúhleník, cizím slovem octadecagon či octakaidecagon (z řec. δεκαοχτώ, dekaochtó – osmnáct, a γωνία, gonia – úhel), je mnohoúhelník s osmnácti stranami a vrcholy.

Pravidelný osmnáctiúhelník a jeho úhly

Popis pravidelného osmnáctiúhelníku

editovat

Součet středových úhlů pravidelného osmanáctiúhleníku je 360°, jeden středový úhel je tedy  , což je i hodnota každého vnějšího úhlu.

Jeden vnitřní úhel je  , součet všech vnitřních úhlů je tedy  .

Je-li α délka strany, pak:

  • obvod:  
  • obsah:  
     
    Pravidelný osmnáctiúhelník se všemi možnými spojnicemi vrcholů
  • minimální poloměr:  
  • maximální poloměr:  

Rýsování

editovat
 
Rýsování pravidelného osmnáctiúhelníku

Pravidelný osmnáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla ( ).

Osmnáct je dělitelné devíti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z    na  , odchylka tedy   a celkově  ) jej však lze zkonstruovat v 19 krocích:

  1. Utvoříme přímku p.
  2. Narýsujeme kružnici k se středem I, jež se nalézá na přímce p.
  3. Vytvoříme kružnici l se středem v pravém průsečíku kružnice k a přímky p  , jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k.
  4. Vytvoříme kružnici m se středem v levém průsečíku kružnice k a přímky p  , jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k.
  5. Narýsujeme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m   a  .
  6. Narýsujeme kružnici n, jejíž střed se nachází v průsečíku kružnice k a přímky q  , jejíž průměr je shodný s průměrem kružnice k.
  7. Narýsujeme přímku r, jež protíná průsečíky kružnice k s kružnicí n   a   a je kolmá na přímku p.
  8. Zkonstruujeme kružnici o, jejímž středem je průsečík J a jejíž průměr je totožný s průměrem kružnice k.
  9. Narýsujeme přímku s, jež je kolmá na průsečík J.
  10. Utvoříme kružnici p, která má střed v průsečíku N a průměr totožný s poloměrem kružnice k.
  11. Sestrojíme kružnici q, jejíž střed leží v průsečíku kružnice o a přímky s   a jejíž průměr je stejný jako poloměr kružnice k.
  12. Narýsujeme přímku t, jež je kolmá na přímku q v horním průsečíku kružnice p a přímky q  . Zároveň ji lze popsat jako přímku, jež protíná průsečík S a horní průsečík přímky s a kružnice p.
  13. Narýsujeme přímku u, která protíná bod I a průsečík kružnice n a přímky s  .
  14. Sestrojíme kružnici r, která má střed v průsečíku J a prochází průsečíkem přímky u a kružnice k  .
  15. Vytvoříme přímku v, která prochází oběma průsečíky kružnice r s kružnicí k a je tak kolmá na přímku p.
  16. Zkonstruujeme přímku w, která prochází bodem I a průsečíkem přímky r a v  .
  17. Narýsujeme přímku x, která prochází průsečíkem J a průsečíkem přímky w a t  .
  18. Sestrojíme přímku y, jež prochází bodem I a průsečíkem přímek r a x  .
  19. Přímky p a y svírají úhel α. Vezmeme do kružítka vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k   a   a po obvodu kružnice k si uděláme značky, jež následně spojíme.

Při tomto rýsování vytvoříme množství kružnic, průsečíků a přímek. Zde je jejich přehled:

  • Kružnice: k, l, m, n, o, p, q, r
  • Průsečíky a body: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, Y, Z
  • Přímky: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y

Zajímavosti

editovat
 
Obr. 1

Trojúhelník RA-QA-CB

editovat
 
Pravidelný trojúhelník A18-A17-B3

Zajímavostí je, že pokud k sobě přitiskneme pravidelný osmnáctiúhelník Α a pravidelný devítiúhelník Β (se stejně dlouhými stranami) body AA a AB a RA a BB a spojíme úsečkou body QA a CB (vrcholu se pojmenovávají proti směru hodinových ručiček), pak vznikne pravidelný rovnostranný trojúhelník RA-QA-CB.

 
Obr. 2

Součet vnějšího úhlu A a vnějšího úhlu B musí být 60° (vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku). Vnější úhel α je 20°, vnější úhel β tedy musí být  . Dává to smysl, neboť osmnáctiúhelník má dvakrát více vrcholů a stran než devítiúhelník.

 
Osmnáctiúhelníky, devítiúhelníky, kosočtverce a trojúhelníky

Osmnáctiúhelníková síť

editovat

S pomocí osmnáctiúhelníků, devítiúhelníků, kosočtverců a trojúhelníků v poměru 1:2:8:2 lze sestrojit vzor opakujících se geometrických útvarů. Zde se uplatní předešlý popsaný jev.

 
Obr. 3

Osmnáctiúhelník vyplněný kosočtverci

editovat

Pravidelný osmnáctiúhelník lze několika způsoby vyplnit různě velkými kosočtverci, které však obvykle mají stejnou délku strany a často jich je 36, od každého druhu devět.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Octadécagone na francouzské Wikipedii.


Externí odkazy

editovat