Dostředivé zrychlení

Při křivočarém pohybu je výhodné rozložit zrychlení do směru pohybu, tzn. do směru tečny k trajektorii, a do směru kolmého k pohybu, tzn. do směru normály k trajektorii. Hovoříme pak o tečném zrychlení a normálovém (také dostředivém) zrychlení.

Směr kolmý k trajektorii je dán normálou trajektorie a složka zrychlení, která má stejný směr jako tato normála, se označuje jako normálové zrychlení (hovoří se také o normálové složce zrychlení) $\mathbf {a} _{n}$. Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti trajektorie, a proto se často nazývá dostředivým zrychlením a značí $\mathbf {a} _{d}$.

Vektor a velikost normálového zrychlení

Pro velikost normálového zrychlení platí vztah

$a_{n}={\frac {\mathrm {d} v_{n}}{\mathrm {d} t}}={\frac {v^{2}}{\rho }}$,

kde $\mathrm {d} v_{n}$ je změna velikosti rychlosti ve směru normály k trajektorii pohybu, $\mathbf {v}$ je okamžitá rychlost a $\rho$ je poloměr křivosti v daném bodě trajektorie.

Velikost dostředivého zrychlení závisí na rychlosti (obvodové nebo úhlové) a na poloměru zakřivení trajektorie (u pohybu po kružnici na poloměru kružnice). Směr dostředivého zrychlení je do středu zakřivení (do středu kružnice) a je kolmý k vektoru rychlosti.

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Související informace naleznete také v článku Rovnoměrný pohyb po kružnici.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici je poloměr křivosti $\rho$ roven poloměru kružnice $r$. Použijeme-li navíc vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí, pak pro velikost dostředivého zrychlení získáme vztah

$a_{d}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}\cdot r\,$,

kde v je velikost obvodové rychlosti, ω úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Odvození

K odvození velikosti dostředivého zrychlení

${\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$

${\frac {v_{a}}{\Delta v}}={\frac {r}{\Delta s}}$

Vzorec vyplývá z podobnosti rovnoramenných trojúhelníků se stejným vrcholovým úhlem, přičemž trajektorii ${\Delta s}$ aproximujeme přeponou AB, neboť ta se k trajektorii limitně blíží.

$v_{a}\cdot \Delta s=r\cdot \Delta v$

$\Delta v={\frac {v_{a}\cdot \Delta s}{r}}$

${\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{a}}{r}}\cdot {\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Obě strany rovnice vydělíme ${\Delta t}$ a interpretujeme vzniklé derivace (diferenciály) jako zrychlení a rychlost.

$a={\frac {v_{a}}{r}}\cdot v_{a}$

$\rightarrow a={\frac {v_{a}^{2}}{r}}\Leftrightarrow a=\omega ^{2}\cdot r$

Související články

• Zrychlení
• Tečné zrychlení
• Dostředivá síla