Metrický tenzor

V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.

Metrická forma

Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Kvadrát vzdálenosti dvou bodů je metrickým tenzorem $g_{ij}$ dán v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru předpisem:

$\mathrm {d} s^{2}=g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\,$,

kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.

Předpokládejme, že $x_{i}$ představují kartézské souřadnice v $n$-rozměrném eukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{i}\,\mathrm {d} x^{i}$

Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice $\xi _{j}$, tzn. $\mathrm {d} x_{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{j}}}\mathrm {d} \xi ^{j}$, lze metrickou formu přepsat na tvar

$\mathrm {d} s^{2}={\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{j}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{k}}}\mathrm {d} \xi ^{j}\mathrm {d} \xi ^{k}$

Vyjádříme-li metrický tenzor jako

$g_{ij}={\frac {\partial x_{k}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial \xi ^{j}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial \xi ^{j}}}+{\frac {\partial x_{2}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial \xi ^{j}}}+\cdots +{\frac {\partial x_{n}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial \xi ^{j}}}$,

pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako

$\mathrm {d} s^{2}=g_{jk}\mathrm {d} \xi ^{j}\mathrm {d} \xi ^{k}$

Např. délku křivky spočteme jako:

$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t},\,$

kde $t$ je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzor $g_{ij}$ bývá také vyjadřován jako

$g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})$,

kde $\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}$ představují bázi.

Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát

$g^{ij}=(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} ^{j})={\frac {\partial \xi ^{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \xi ^{j}}{\partial x_{k}}}$

a pro smíšené složky

$g_{j}^{i}=(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{j})={\frac {\partial \xi ^{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial \xi ^{j}}}=\delta _{j}^{i}$,

kde $\delta _{j}^{i}$ je Kroneckerovo delta a $\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}$ jsou prvky sdružených bází.

Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností

Velikost vektoru je tedy dána vztahem

$V={\sqrt {g_{ij}V^{i}V^{j}}}.\,$

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem

$\cos \vartheta ={\frac {g_{ij}V^{i}U^{j}}{{\sqrt {g_{ij}V^{i}V^{j}}}{\sqrt {g_{ij}U^{i}U^{j}}}}},$

jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů.) To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:

Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy

$g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$,

kde $\delta _{k}^{i}$ je kroneckerovo delta. Složky $g_{ij}$ známe, kdežto složky $g^{ij}$ jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu ${T^{i_{1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}}$ zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem:

$g^{i_{m+1}i_{k}}{T^{i_{1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k}i_{k+1}\dots i_{n}}={T^{i_{1}\dots i_{m}i_{m+1}}}_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k+1}\dots i_{n}},$

$g_{i_{n+1}i_{k}}{T^{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k}i_{k+1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}}={T^{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k+1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}i_{n+1}}.$

Vlastnosti

Metrický tenzor je symetrický, tzn.

$g_{ij}=g_{ji}$

$g^{ij}=g^{ji}$

Související články

• Metrika
• Signatura metriky

Portály: Matematika