Eisensteinovo kritérium

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy

Nechť je $f(x)$ mnohočlen stupně $n$ s koeficienty z oboru celých čísel, tedy $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$, a nechť existuje prvočíslo $p$ takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

• $p\mid a_{i}$ pro všechna $i<n$,
• $p^{2}\nmid a_{0}$ a
• $p\nmid a_{n}$,

pak je mnohočlen $f(x)$ ireducibilní v oboru $\mathbb {Q} [x]$, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je $f(x)={\frac {b_{n}}{c_{n}}}x^{n}+\cdots +{\frac {b_{1}}{c_{1}}}x+{\frac {b_{0}}{c_{0}}}$, kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel $NSD(b_{i},c_{i})$ je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo $p$ takové, že

• $p$ dělí $b_{k}$ pro $k\leq n$,
• $p$ nedělí $b_{n}$ a $c_{n}$ a
• $p^{2}$ nedělí $b_{0}$.

Pak je $f(x)$ nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.

Zobecnění pro gaussovské obory

Nechť je $R$ Gaussův obor integrity a $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu $R[x]$. Pak pokud je $f(x)$ primitivní a existuje ireducibilní prvek $p\in R$ splňující

• $p\mid a_{i}$ pro všechna $i<n$,
• $p^{2}\nmid a_{0}$ a

pak je polynom $f(x)$ v $R[x]$ ireducibilní.

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů

Nechť je $R$ obor integrity a $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu $R[x]$. Pokud existuje v oboru $R$ prvoideál $P$ takový, že

• $a_{i}\in P$ pro všechna $i<n$,
• $a_{n}\notin P$ a
• $a_{0}\notin P^{2}$ ($P^{2}$ je součin ideálu $P$ s ním samým),

pak nelze zapsat $f(x)$ jako součin dvou nekonstantních polynomů v $R[x]$. Je-li navíc $f(x)$ primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v $R[x]$. Pokud je $R$ Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je $T$, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z $R$ jsou v $T$ jednotkami).