Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy , který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost . Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.
Funkci
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
absolutně spojitou na intervalu
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
⟨
a
1
,
b
1
⟩
,
⟨
a
2
,
b
2
⟩
,
…
,
⟨
a
n
,
b
n
⟩
{\displaystyle \langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\,\dots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle }
a
≤
a
1
≤
b
1
≤
a
2
≤
b
2
≤
⋯
≤
a
n
≤
b
n
≤
b
{\displaystyle a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b}
∑
i
=
1
n
(
b
i
−
a
i
)
<
δ
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta }
∑
i
=
1
n
|
f
(
b
i
)
−
f
(
a
i
)
|
<
ε
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|f(b_{i})-f(a_{i})|<\varepsilon }
Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
A
C
(
a
,
b
)
{\displaystyle AC(a,b)}
f
{\displaystyle f}
absolutně spojitá na
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
f
∈
L
1
(
a
,
b
)
{\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}
spojitých funkcí
∃
g
∈
L
1
(
a
,
b
)
{\displaystyle \exists g\in L^{1}(a,b)}
f
(
x
)
=
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
∀
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)}
∃
h
∈
L
1
(
a
,
b
)
{\displaystyle \exists h\in L^{1}(a,b)}
|
f
(
d
)
−
f
(
c
)
|
≤
∫
c
d
h
(
t
)
d
t
∀
⟨
c
,
d
⟩
⊂
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle |f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle }
Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí:
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
∀
x
∈
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle }
pokud
f
∈
L
1
(
a
,
b
)
{\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {dt} }
F
{\displaystyle F}
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
